Để giải bài toán này, chúng ta cần đếm số các số tự nhiên có 4 chữ số \(\overset{\overline}{a b c d}\) sao cho \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Trước hết, ta cần xác định miền giá trị của các chữ số:

• \(a\) là chữ số hàng nghìn, nên \(a \in \left{\right. 1 , 2 , \ldots , 9 \left.\right}\).
• \(b , c , d\) là các chữ số, nên \(b , c , d \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 9 \left.\right}\).

Số \(\overset{\overline}{a b}\) là một số có hai chữ số, nên \(\overset{\overline}{a b} \in \left{\right. 10 , 11 , \ldots , 99 \left.\right}\).

Số \(\overset{\overline}{c d}\) là một số có hai chữ số, nên \(\overset{\overline}{c d} \in \left{\right. 00 , 01 , \ldots , 99 \left.\right}\).

Chúng ta có điều kiện \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Ta sẽ xem xét hai trường hợp cho \(\overset{\overline}{c d}\):

Trường hợp 1: \(\overset{\overline}{c d}\) là số có hai chữ số (tức là \(c \neq 0\))

Trong trường hợp này, \(\overset{\overline}{c d} \in \left{\right. 10 , 11 , \ldots , 99 \left.\right}\).

• Số các giá trị có thể có của \(\overset{\overline}{a b}\) là từ 10 đến 99, tức là $99 - 10 + 1 = 90$ giá trị.
• Số các giá trị có thể có của \(\overset{\overline}{c d}\) là từ 10 đến 99, tức là $99 - 10 + 1 = 90$ giá trị.

Với mỗi cặp \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) thỏa mãn \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\), ta có thể ghép chúng lại để tạo thành số \(\overset{\overline}{a b c d}\).

Tuy nhiên, cách tiếp cận này phức tạp vì sự phụ thuộc giữa \(\overset{\overline}{a b}\) và \(\overset{\overline}{c d}\).

Cách tiếp cận tốt hơn:

Chúng ta đếm tổng số các bộ \(\left(\right. a , b , c , d \left.\right)\) thỏa mãn điều kiện.

Số \(\overset{\overline}{a b}\) có thể nhận các giá trị từ 10 đến 99. Có $99 - 10 + 1 = 90\(g i \overset{ˊ}{a} t r ị . S \overset{ˊ}{\hat{o}}\)\overline{cd} có thể nhận các giá trị từ 00 đến 99. Có \99 - 00 + 1 = 100$ giá trị.

Chúng ta cần đếm số các cặp số \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) sao cho \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\), với điều kiện \(\overset{\overline}{a b}\) là số có hai chữ số (\(a \neq 0\)).

Hãy xem xét tất cả các cặp số có hai chữ số \(\left(\right. X , Y \left.\right)\) sao cho \(X < Y\).

Ở đây, \(X\) có thể là số từ 00 đến 99, và \(Y\) cũng có thể là số từ 00 đến 99.

Tổng cộng có $100 \times 100 = 10000\(c ặ p\)(X, Y)\(v ớ i\)X, Y \in {00, 01, \dots, 99}$.

Trong số 10000 cặp này:

• Số cặp \(X < Y\).
• Số cặp \(X > Y\).
• Số cặp \(X = Y\).

Số cặp \(X = Y\) là 100 (00=00, 01=01, ..., 99=99).

Do tính đối xứng, số cặp \(X < Y\) bằng số cặp \(X > Y\).

Do đó, số cặp \(X < Y\) = (10000 - 100) / 2 = 9900 / 2 = 4950.

Bây giờ, chúng ta phải quay lại điều kiện của bài toán: \(a \neq 0\), tức là \(\overset{\overline}{a b}\) phải là số có hai chữ số (từ 10 đến 99).

Chúng ta cần đếm số các cặp \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) sao cho $10 \le \overline{ab} \le 99 và \0 \le \overline{cd} \le 99\(, v \overset{ˋ}{a}\)\overline{ab} < \overline{cd}$.

Ta sẽ đếm tổng số các bộ \(\left(\right. a , b , c , d \left.\right)\) với \(a \in \left{\right. 1 , \ldots , 9 \left.\right}\) và \(b , c , d \in \left{\right. 0 , \ldots , 9 \left.\right}\) thỏa mãn \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Xét từng giá trị của \(\overset{\overline}{a b}\) (từ 10 đến 99):

• Nếu \(\overset{\overline}{a b} = 10\), ta cần $10 < \overline{cd}\(.\)\overline{cd} có thể là từ 11 đến 99. Số lượng là \99 - 11 + 1 = 89$.
• Nếu \(\overset{\overline}{a b} = 11\), ta cần $11 < \overline{cd}\(.\)\overline{cd} có thể là từ 12 đến 99. Số lượng là \99 - 12 + 1 = 88$.
• ...
• Nếu \(\overset{\overline}{a b} = 98\), ta cần $98 < \overline{cd}\(.\)\overline{cd}$ có thể là 99. Số lượng là 1.
• Nếu \(\overset{\overline}{a b} = 99\), ta cần $99 < \overline{cd}\(. K h \hat{o} n g c \overset{ˊ}{o} g i \overset{ˊ}{a} t r ị\)\overline{cd}$ nào thỏa mãn. Số lượng là 0.

Tổng số các số thỏa mãn là:

$89 + 88 + 87 + \dots + 1 + 0\(. Đ \hat{a} y l \overset{ˋ}{a} t ổ n g c ủ a m ộ t c \overset{ˊ}{\hat{a}} p s \overset{ˊ}{\hat{o}} c ộ n g . T ổ n g n \overset{ˋ}{a} y b \overset{ˋ}{\overset{ }{a}} n g :\)\frac{(89 + 0) \times 90}{2} = \frac{89 \times 90}{2} = 89 \times 45$.

$89 \times 45 = (90 - 1) \times 45 = 90 \times 45 - 1 \times 45 = 4050 - 45 = 4005$.

Vậy có 4005 số tự nhiên \(\overset{\overline}{a b c d}\) mà \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Kiểm tra lại bằng cách khác:

Ta có \(a \in \left{\right. 1 , \ldots , 9 \left.\right}\), \(b , c , d \in \left{\right. 0 , \ldots , 9 \left.\right}\).

Điều kiện: $10a + b < 10c + d$.

Tổng số các số \(\overset{\overline}{a b c d}\) là $9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000$.

Xem xét tất cả các cặp \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) với \(\overset{\overline}{a b} \in \left{\right. 10 , \ldots , 99 \left.\right}\) và \(\overset{\overline}{c d} \in \left{\right. 00 , \ldots , 99 \left.\right}\).

Total number of pairs \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) is $90 \times 100 = 9000$.

We need to count pairs where \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\).

Consider the pairs \(\left(\right. X , Y \left.\right)\) where \(X , Y \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 99 \left.\right}\). There are $100 \times 100 = 10000\(s u c h p a i r s . N u m b e r o f p a i r s\)X < Y\(i s 4950. N u m b e r o f p a i r s\)X = Y\(i s 100. N u m b e r o f p a i r s\)X > Y$ is 4950.

Now, we impose the constraint that \(\overset{\overline}{a b}\) must be between 10 and 99.

This means \(X\) cannot be from 00 to 09.

Let \(S = \left{\right. \left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right) \mid 10 \leq \overset{\overline}{a b} \leq 99 , 0 \leq \overset{\overline}{c d} \leq 99 \left.\right}\). The size of \(S\) is $90 \times 100 = 9000\(. W e w a n t t o c o u n t t h e n u m b e r o f p a i r s i n\)S\(s u c h t h a t\)\overline{ab} < \overline{cd}$.

Let's consider the complementary cases within \(S\):

1. \(\overset{\overline}{a b} > \overset{\overline}{c d}\)
2. \(\overset{\overline}{a b} = \overset{\overline}{c d}\)

Case \(\overset{\overline}{a b} = \overset{\overline}{c d}\):

Since $10 \le \overline{ab} \le 99\(,\)\overline{cd}\(m u s t a l s o b e i n t h i s r a n g e . S o ,\)\overline{ab} = \overline{cd}\(c a n h a p p e n f o r\)\overline{ab} \in {10, 11, \dots, 99}$. There are 90 such cases.

Case \(\overset{\overline}{a b} > \overset{\overline}{c d}\):

We have $10 \le \overline{ab} \le 99 and \0 \le \overline{cd} \le 99$.

Consider all pairs \(\left(\right. X , Y \left.\right)\) with \(X , Y \in \left{\right. 0 , \ldots , 99 \left.\right}\). There are 4950 pairs with \(X > Y\).

We need to exclude pairs where \(X < 10\).

If \(X \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 9 \left.\right}\), then \(X\) cannot be \(\overset{\overline}{a b}\).

So, we need to exclude pairs \(\left(\right. X , Y \left.\right)\) where \(X \in \left{\right. 0 , \ldots , 9 \left.\right}\) and \(X > Y\).

If \(X = 0\), $0>Y\(i s i m p o s s i b l e . I f\)X=1, \1>Y\(m e a n s\)Y=0\(. P a i r i s \left(\right. 1 , 0 \left.\right) . I f\)X=2, \2>Y\(m e a n s\)Y \in {0, 1}\(. P a i r s a r e \left(\right. 2 , 0 \left.\right) , \left(\right. 2 , 1 \left.\right) . . . . I f\)X=9, \9>Y\(m e a n s\)Y \in {0, 1, \dots, 8}. Pairs are (9, 0), (9, 1), ..., (9, 8).
The number of such pairs is \0 + 1 + 2 + \dots + 9 = \frac{9 \times 10}{2} = 45$.

These 45 pairs are from the \(X > Y\) set, but \(X\) is not a valid \(\overset{\overline}{a b}\).

So, the number of pairs \(\left(\right. \overset{\overline}{a b} , \overset{\overline}{c d} \left.\right)\) with $10 \le \overline{ab} \le 99\(a n d\)\overline{ab} > \overline{cd} is \4950 - 45 = 4905$.

Now, we have:

Total pairs in \(S = 9000\).

Pairs with \(\overset{\overline}{a b} = \overset{\overline}{c d}\) is 90.

Pairs with \(\overset{\overline}{a b} > \overset{\overline}{c d}\) is 4905.

Pairs with \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\) = Total pairs - Pairs with \(\overset{\overline}{a b} = \overset{\overline}{c d}\) - Pairs with \(\overset{\overline}{a b} > \overset{\overline}{c d}\)

Pairs with \(\overset{\overline}{a b} < \overset{\overline}{c d}\) = $9000 - 90 - 4905 = 9000 - 4995 = 4005$.

The two methods yield the same result.

Đáp án: 4005

ffgh

2